学习数学的精髓时不能只抱着应付差事的心理， 而应该把这些知识融 入日常思维， 并通过各种激励手段使它们反复出现在你的脑海里。

——伯特兰·罗素（BertrandRussell） ，《数学研究》 （The Study of Mathematics）

“数学与足球非常相似。 你的就业目标可能

与数学没有相关性， 这很正常， 大多数人的情况

都是这样。 但是， 你仍然可以运用数学知识， 甚

至你手头正在做的事情有可能就用到了数学知

识， 只不过你自己不知道。 数学与逻辑推理紧密

地交织在一起， 可以增强我们处理事务的能力。

掌握了数学知识， 就像戴了一副X射线眼镜一

样， 我们可以透过现实世界错综复杂的表面现

象， 看清其本质。 多少个世纪以来，由于人们辛

勤钻研、 反复辩论魔鬼数学大数据时代， 数学的各种公式与定理已经

得到了千锤百炼， 可以帮助我们在处理事务时避

免犯错。 利用数学这个工具， 我们可以更深入、更准确地理解我们这个世界， 而且可以取得更有

意义的成果。 我们需要做的就是找到一位良师或

者一本好书， 引导我们学习数学中的一些规则和

基本方法。 现在， 我愿意担任这样的指导老师，

告诉你如何实现这个目的

数学人才的调用取决于任务的重要程度。 用

沃利斯的话说， “在组建统计研究小组时， 不仅

考虑了人数， 还考虑了成员的水平， 所选调的统

计人员都是最杰出的。 ”

他是决策理论的

先驱和贝叶斯定理的杰出倡导者。 麻省理工学院

的数学家、 控制论的创始人诺伯特·维纳

（Norbert Wiener） 也经常参加小组活动。 在这个

小组中， 米尔顿·弗里德曼（Milton Friedman） 这

位后来的诺贝尔经济学奖得主只能算第四聪明的

人。

是的， 数学就是一些常识。 从某个基础层面

看， 这是毫无疑问的。 你有5件物品， 再加上7

件， 跟你有7件物品再加上5件， 结果毫无区别，

你能解释这是为什么吗？ 你无法解释， 因为在思

考把不同的物品合并到一起的问题时， 我们就是

这样做的。 数学家们经常会就常识已经了解的现

象给出不同的名称。 我们不会说“把这些物品加

上那些物品， 与把那些物品加上这些物品， 结果

是相同的”， 而会说“加法具有交换性”。 由于我们

如果数学这门学科逐步偏离现实生活的

经验， 并且渐行渐远， 以至于第二代和第三

代数学人无法在“现实生活” 中萌生某些想

法并直接受到启迪， 那么我们将面临非常严

重的威胁。 它会在唯美的道路上越走越远，

演变成“为了艺术而艺术” 。 如果周围的相

关学科仍然与经验有着密切的联系， 或者某

位鉴赏能力超强的人可以对数学产生影响，

那么发生这种情况未必是件坏事。 但是， 数

学的这种发展势头几乎没有遇到任何阻力，

而且在偏离经验的过程中分解成多个不起眼

的分支， 最终局面有可能变得支离破碎、 杂

乱无序， 这相当危险。 换句话说， 在远离经

验的哺乳， 或者说“抽象研究” 大量“近亲

繁殖” 之后， 数学将面临堕落的危险。

起初，我研究的是既经典又有特色的数论魔鬼数学大数据时代，

试图证明整数四次幂求和方面的一些事实。 当家

人在感恩节晚宴上不断追问它的情况时， 我虽然

可以向他们解释一二， 但我无法让他们明白我的

证明过程。 不久之后， 我又迷上了更加抽象的研

究领域， 其中的一些基本概念乏人问津， 讨论的

场所只限于牛津大学、 普林斯顿大学、 京都大

学、 巴黎大学和威斯康星大学麦迪逊分校（我目

前在此任教） 的学术报告厅与教师休息室。 如果

我告诉你这些内容内涵丰富、 极富美感， 令我热

血沸腾， 而且我永远会乐此不疲地研究它们， 那

么你只能相信我的话。 因为这些研究极为深奥，

哪怕只是触及皮毛， 也需要投入大量的学习时

间。

乘坐飞机， 让飞机把我们带到高空并运
送到另一个地方， 还有操控飞机的航向， 这
些都不是很难。 但是， 要了解飞机的飞行原
理， 以及飞机抬升力与推进力的相关理论，
则要难得多。 对于某个过程， 如果我们事先
没有经过大量运行或使用， 达到得心应手的
程度， 也没有通过直觉和经验去融会贯通，
想要彻底掌控这个过程就会非常困难。

换言之， 如果不从事某些数学活动， 就很难

理解数学的真谛。 欧几里得（Euclid） 告诉托勒

密（Ptolemy） ， 几何的学习没有捷径可言； 门内

马斯（Menaechmus） 也曾经告诉亚历山大大帝要

亲力亲为。 （古代科学家的一些名言有可能是人

们杜撰的， 但是同样有启迪作用。 我们还是坦然

面对

非线性思维表明， 正确的前进方向取决于你
当前所在的位置

这个深刻的观点其实早已有之。 罗马时期，

贺拉斯（Horace） 有一个著名的论断： 事物有中道， 过犹不及。 在此前更早的时候， 亚里士多德在他的《尼各马可伦理学》 （Nicomachean

Ethics） 一书中指出， 多食与少食都会伤害身

体。 最适宜的度应在两者之间， 因为饮食与健康之间并不是线性关系， 而是曲线关系， 两端都是不好的结果。

现代数学家从未想到， 一堆数学符号竟

然需要通过定义为其赋值， 才会具有某

种“含义” ， 因此， 即使对于18世纪最杰出

的数学家而言， 这个发现也不能等闲视之。

他们非常不习惯这样的定义， 每次都要指

出“在这里， X的意思是指Y” ， 这让他们觉

得十分别扭。 柯西之前的数学家几乎不会提

出“我们应该怎么定义1–1+1–1 +……” 这

样的问题， 而会问“1–1+1–1 +……是多

少” 。 这样的思维习惯让他们陷入了毫无意

义的困惑与争议（常常会演变成辱骂） 中

v

柯西是一名坚定的保守主义者和君主主义

者， 但他引以为豪的是， 他在数学研究中极具批

判精神， 勇于挑战学术权威。 他在成功地摒弃容

易招致质疑的无穷小量之后， 单方面修改了他在

巴黎综合理工大学的教学大纲， 力求传播自己的

新思想。 他的这一做法激怒了他身边的所有人：

他的学生深感困惑， 因为他们报名学习的是针对

大学一年级学生的微积分学， 而不是介绍纯数学

前沿动态的学术成果； 他的同事们认为， 学校里

学习工程技术的学生没有必要吃这个苦头， 去钻

研柯西讲授的那些高深内容； 学校管理部门则严

令他按纲施教， 不得自由发挥。 校方强行制定了

新的课程内容， 强调在微积分教学中采用包含无

限小量概念的传统方法。 同时， 为了防止柯西置

若罔闻， 校方还安排人进入他上课的教室做听课

记录。 但是， 柯西并没有就范， 柯西对工程师需

要学习什么内容不感兴趣， 他感兴趣的是探索真

理。

我们在研究某一门科学时必须确定一系

列公理， 对该科学的基础观点之间存在的各

种关系给出准确、 完整的描述。 同时， 在这

个科学领域中， 只有从既有公理出发经过有

限步骤的逻辑推理得

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